Пространство Адамара

Пространства Адамара (или полное CAT(0) пространство с внутренней метрикой) — нелинейное обобщение гильбертовых пространств, частный случай пространства Александрова с кривизной ограниченной сверху.

Пространства названы в честь Жака Адамара.

Определение

Пространство Адамара — непустое полное метрическое пространство, где для  любых двух точек x и y найдётся точка m такая, что неравенство

$d(z,m)^{2}+{d(x,y)^{2} \over 4}\leq {d(z,x)^{2}+d(z,y)^{2} \over 2}.$

выполняется для любой точки z.

Замечания

• Заметим, что точка $m$ лежит ровно посередине $x$ и $y$, то есть

  $d(x,m)=d(y,m)=d(x,y)/2$.

Это можно увидеть, предположив $z=m$ в неравенстве выше.

• В гильбертовом пространстве неравенство выше превращается в равенство (с $m=(x+y)/2$).
• Пространства Адамара можно определить как полные CAT(0) пространства.

Свойства

• Теорема Решетняка о склеивании утверждает в частности, что пространство, полученное склейкой двух пространств Адамара по изометричным выпуклым множествам, также является пространством Адамара.
• Нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым.
• В пространстве Адамара, любые две точки можно соединить с помощью единственной геодезической.
  • В частности, пространства Адамара стягиваемы.
• Всякое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в единственном замкнутом шаре с минимальным радиусом. Центр этого шара называется центром множества.
  • В частности, если $\Gamma$ — это группа из движений в пространстве Адамара, которая оставляет инвариантным ограниченное множество, то $\Gamma$ фиксирует и его центр.
• Локально выпуклое замкнутое множество в пространстве Адамара является глобально выпуклым.
• По теореме Картана — Адамара, пространство $X$ является пространством Адамара, если оно односвязно и CAT(0) неравенство выполняется локально, то есть любая точка допускает замкнутую окрестность, являющуюся пространством Адамара.

Примеры

• Гильбертово пространство
• Пространство Лобачевского
• Деревья с полной внутренней метрикой
• Полные односвязные римановы многообразия с неположительной секционной кривизной

Вариации и обобщения

• CAT(κ) пространство

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.